Назад, на численное моделирование

Моделирование начальных неоднородностей

Abstract: At the attempt to simulate the natural fragmentation of solid bodies there appear a problem: internal heterogeneities and microdamages influence the pattern of fragmentation. In the process of solid body load, the localization of deformations on the structural imperfections takes place, thus the stochastic factor appears, in many cases it plays the prevailing role and determines the nature of fragmentation. Therefore, it is necessary to introduce the specific random disturbances into the physicomechanical characteristics of the destroyed medium, which determines the strength properties, for increasing the degree of the numerically simulatable process conformity with the experimental data.
Approach to the stochastic mechanism of destruction simulation is as follows: the physicomechanical characteristics of medium, that are responsible for the strength, are considered to be distributed randomly on the volume of the material. Distribution to the cells or knots of calculated region is carried out with the help of the modified random number generator, which gives out the value that submits to the selected distribution law.
In the report are given examples of the plane and 3D modelling with the use of this approach, for the problems of the shells explosive destruction and barrier penetration by striker. It is demonstrated that the stochastic nature is traced in all stages of destruction.
It is shown that for the simulation of stochastic destruction it is enough to introduce only one additional parameter into the model of the material (dispersion of the strength properties distribution), that to a certain extent allows to influence the nature of splitting and the resulting fragmentation spectrum.

При динамическом нагружении и, в частности, при взрыве, в любом конечном объеме твердого тела развивается большое количество трещин, приводящее к образованию осколков самых разнообразных размеров и форм, различающихся даже для геометрически одинаковых объектов, изготовленных из одного и того же материала. Поэтому, при попытке моделировать естественное дробление твердых тел возникают проблемы, связанные с тем, что на картину фрагментации существенное влияние оказывает наличие внутренних неоднородностей и микроповреждений. В процессе нагружения твердого тела происходит локализация деформаций на дефектах структуры, тем самым появляется вероятностный фактор, во многих случаях играющий превалирующую роль и определяющий характер фрагментации. В связи с этим, при моделировании задач дробления, возникает необходимость учета начальных неоднородностей, в противном случае, деформации будут распределены равномерно и картина разрушения будет искажена – особенно критично это для задач, геометрически осесимметричных, например, при разрушении оболочек вращения.

В реальных материалах процесс разрушения всегда определяется внутренней структурой среды, наличием неоднородностей, как правило, вызванных различной ориентацией зерен в поликристаллическом материале или неоднородностями в составе композиционных материалов, различием в микропрочности внутри зерна и на межзеренной или межфазной границе. Анизотропность свойств каждого зерна (различие упругих модулей компонентов в композиционном материале) вызывает концентрацию напряжений и неоднородность деформации на микроуровне, что, по мере нагружения, приводит к локализации разрушения. В связи с этим, для повышения степени соответствия численно моделируемого процесса с экспериментальными данными, необходимо внести определенные возмущения в физико-механические характеристики разрушаемой среды, причем представляет определенный интерес случайное распределение факторов, определяющих прочностные свойства материала. При такой постановке задачи процесс разрушения приобретает вероятностный характер, что соответствует теоретическим представлениям и экспериментальным данным.

Введение в методику расчета сведений о поликристаллической структуре материала требует большого количества экспериментальных данных и повышенных требований к мощностям вычислительной техники, что ограничивает возможности реализации и применения подобного подхода. В связи с этим, предлагается упрощенный вариант моделирования вероятностного механизма разрушения.

Физико-механические характеристики среды, отвечающие за прочность, считаются распределенными случайным образом по объему материала. Плотность вероятности распределения данных параметров берется в виде различных законов распределения, в общем случае зависящих от табличного (среднего) значения распределяемого параметра, варьируемой дисперсии распределения данного параметра, и прочих характеристик среды.

Такие характеристики, как плотность, модуль сдвига, модуль объемного сжатия, для безградиентного однофазного материала практически не зависят от числа дефектов и при распределении по объему эти величины можно считать постоянными. В то же время такие параметры, как предел текучести, предел прочности, максимальные деформации и прочие константы, определяющие момент наступления разрушения в различных теориях прочности и критериях разрушения, напрямую зависят от числа и размера дефектов и должны быть распределены по объему случайным образом, с дисперсией, зависящей от однородности материала.

Численные эксперименты с подрывом толстостенных цилиндрических оболочек показывают, что на формирование осколочного спектра дисперсия начального распределения прочностных свойств влияет гораздо сильнее, чем его форма, что снижает требования, предъявляемые при выборе закона распределения и позволяет в аналитических и численных расчетах использовать практически любой унимодальный закон.

Как правило, в статистической механике принято считать различные величины распределенными унимодально. Вопрос выбора закона распределения сам по себе вызывает жаркую дискуссию, однако большинство специалистов склоняется к мысли о том, что выбор нормального распределения более обоснован теоретически и экспериментально. Разброс какой-либо величины описывается нормальным Гауссовским распределением в том случае, когда на данную величину влияет большое количество случайных независимых параметров – это, фактически, является определением нормального закона распределения в теории вероятности. Большинство случайных величин в природе удовлетворяют этому требованию и, как правило, в аналитических и численных расчетах могут быть с достаточной степенью точности считаться распределенными нормально. Кроме того, существует большое число экспериментальных работ, где подтверждается нормальный закон отклонения физико-механических характеристик (ФМХ) от номинального значения. Несмотря на то, что существуют работы, где делается вывод о несимметричном законе распределения для ФМХ на макроуровне , это не противоречит их распределению по нормальному закону на микроуровне .

В численных расчетах, для моделирования начальных неоднородностей применяется следующий подход. Некоторый параметр или параметры - как правило, коэффициент разрушения или предел текучести, распределяется по ячейкам или узлам (в зависимости от выбранного подхода к описанию разрушения) расчетной области по нормальному закону распределения. Под коэффициентом разрушения здесь понимается отношение критического значения параметра поврежденности в данной ячейке (узле) к номинальному значению, например, при использовании деформационных критериев - отношение критического значения эквивалентной пластической деформации к максимальной деформации. При отсутствии привязки к эксперименту, используется, как правило, дисперсия 10-процентного отклонения (96% значений случайной величины попадают в интервал +/- 10% от номинального значения). Распределение осуществляется с помощью модифицированного генератора случайных чисел, выдающего величину, подчиняющуюся указанному закону распределения.

Вопрос корреляции распределяемых величин достаточно важен, однако он, фактически, предполагает моделирование вполне определенной структуры, что в свою очередь, требует большого количества экспериментальных данных и создания модели среды с наличием такой структуры (применительно к численному моделированию на дискретной сетке). Ввиду сложности данного вопроса, при распределении различных параметров их можно считать независимыми (если используемая модель накопления и роста поврежденности не предполагает явной связи между ними). Например, максимальное значение эквивалентной пластической деформации (при использовании деформационных критериев) и предел текучести, с точки зрения микроуровня независимы: дефекты на межзеренной границе могут препятствовать пластическим деформациям, но в то же время, приводить к более раннему образованию микротрещины.

Поскольку Гауссовское распределение определено на всем пространстве, от минус бесконечности, до плюс бесконечности, в практических приложениях требуется ограничить интервал, исключив области, вероятность попадания в которые близка к нулю. В силу этого на практике, как правило, для распределения случайных величин по нормальному закону используют отрезок (в зависимости от дисперсии распределения), например, 10%-го отклонения от номинального значения, что позволяет исключить нефизические значения распределяемых параметров.

Разрушение оболочек является хорошей модельной задачей для демонстрации данного подхода.

На рисунках 4.10-4.13 представлены примеры расчета задачи разрушения толстостенной цилиндрической оболочки под действием продуктов детонации ВВ, в плоской постановке исследованной в диссертации. Как видно из представленных рисунков, разрушение начинается с внутренней поверхности путем зарождения многочисленных трещин сдвига (рисунки 4.10, 4.12), затем зона дробления распространяется вглубь оболочки и на заключительном этапе происходит разрушение слоя, прилегающего к внешней поверхности, путем образования радиальных трещин отрыва (рисунки 4.11, 4.13). Вероятностный характер прослеживается на всех этапах разрушения, результирующий осколочный спектр качественно подтверждает экспериментальные данные о бимодальности распределения фрагментов оболочки.

На рисунках 4.17-4.20 представлены результаты моделирования в трехмерной постановке разрушения оживальной оболочки, заполненной ВВ, при торцевом расположении детонатора. Вероятностный характер формирования осколков отчетливо прослеживается на внешней поверхности оболочки, где можно наблюдать локализацию деформаций и образование магистральных трещин. На заключительных стадиях процесса, когда разрушение закончено и продолжается свободный разлет осколков, можно наблюдать осколки различных размеров.

Более подробно: Пример расчета - Разрушение оболочки оживальной формы, заполненной ВВ.

Лепесткование (пробитие тонкой преграды ударником с образованием характерных рваных краев) также является наглядным примером задачи, которую невозможно решить без привлечения вероятностного механизма (рисунок 4.21).

Рисунок 4.21. Лепесткование.
Более подробно: Пример расчета - Лепесткование (пробитие ударником тонкой преграды)

Таким образом, даже для геометрически симметричных задач, использование данного подхода для внесения начальных неоднородностей в физико-механические свойства материала приводит к вероятностному разрушению и приближению к естественной форме дробления.

Данные численных экспериментов по подрыву толстостенных оболочек показывают, что увеличение дисперсии коэффициента разрушения приводит к увеличению в спектре относительной доли средних и крупных осколков и к уменьшению максимума, вызванного осколками мелкой фракции, в связи с чем средний размер осколка увеличивается. Максимальный размер осколка также имеет тенденцию к увеличению, что приводит к возрастанию числа осколков, содержащих в себе участки обеих начальных поверхностей (внутренней и внешней). Это объясняется тем, что с увеличением дисперсии увеличивается число крупных дефектов, которые реализуются в микротрещины на начальных этапах разрушения, причем разгрузка от вновь образованных поверхностей уменьшает опасность реализации более мелких дефектов.

В тоже время, влияние разброса предела текучести на окончательное распределение осколков по размеру гораздо меньше, чем влияние разброса коэффициента разрушения. Это объясняется, скорее всего, тем, что вследствие высоких скоростей деформации, искажающее влияние ослабления материала не приводит на начальном этапе разрушения к существенной локализации деформаций в данной точке. При этом срабатывание условия разрушения происходит более равномерно, чем при распределении с такой же дисперсией критического значения коэффициента разрушения.

Фактически, описываемый подход, для моделирования внутренней структуры среды (неоднородностей, дефектов и в итоге вероятностного разрушения) предполагает введение в модель материала всего одного дополнительного параметра - дисперсии распределения прочностных свойств, что, как показывают численные эксперименты, позволяет в определенной степени влиять на характер дробления и результирующий осколочный спектр. Здесь надо понимать, что данный параметр влияет только на вероятностный фактор разрушения, сам характер разрушения и предельные нагрузки определяются непосредственно моделью материала, в первую очередь описанием накопления поврежденности и критерием разрушения.

Стоит отметить, что в реальных ситуациях, помимо дефектов структуры, большое влияние на характер трещинообразования играют остаточные внутренние напряжения в материале. Их наличие может быть вызвано, как правило, особенностями кристаллизации для металлов, отливки и усадки для пластмасс, затвердевания при химических реакциях. При наличии внутренних напряжений, энергия, необходимая для образования микротрещины и ее роста, может быть гораздо меньше значений, рассчитанных по классической механике трещин. То есть даже при отсутствии каких либо явных внутренних дефектов, незначительное нагружение может привести к образованию трещины, а иногда и разрушению или фрагментации всего образца. Подход к вероятностному разрушению, описанный выше, можно применить и для таких ситуаций, моделируя внутренние напряжения распределением какого либо параметра, однако потребуется значительное усложнение используемой модели материала и критерия разрушения.

Особенности моделирования вероятностного разрушения в двумерной и трехмерной постановке.

При моделировании задачи разрушения в двумерной постановке, возникающая микротрещина предполагается по фронту бесконечно длинной (в плоско деформированной постановке), либо кольцевой (в осесимметричной постановке). В дальнейшем, при росте микротрещин, их слиянии и образовании магистральной макротрещины и ее распространении, также предполагается, что критерий разрушения срабатывает одновременно по всему фронту трещины.

Подобный подход полностью оправдан при моделировании детерминированного разрушения, например, при откольных явлениях, однако в ситуациях, когда характер разрушения полностью определяется начальными дефектами и неоднородностями физико-механических характеристик, он имеет определенные ограничения и это надо учитывать.

При трехмерной постановке задачи, возникшая микротрещина предполагается в виде плоской эллиптической трещины. Из-за ограниченности ее размеров, локализации деформаций на ней практически не происходит, и ее развитие затруднено (по сравнению с плоской постановкой задачи). Другими словами, для того, чтобы «сдвинуть» микротрещину в трехмерной постановке, требуется гораздо больше энергии – энергия идет не только на продвижение «вперед», но и на ослабление флангов трещины. Математически это можно выразить так: энергия, необходимая для начала роста трещины, зависит от кривизны ее фронта. В трехмерной постановке задачи фронт уже не плоский, как в двумерной, а следовательно, трещина растет гораздо медленней.

Из этого следует, что параметры, определяющие прочностные свойства материала, при привязке к эксперименту, для двумерной и трехмерной постановки могут отличаться.

Скорее всего, в реальной ситуации осколкообразования, микротрещины на начальном этапе практически независимы, и, лишь при достижении ими определенной концентрации, когда они начинают влиять друг на друга, возникает локализация деформаций и образование макротрещины. В какой-то мере данное предположение подтверждают эксперименты Д. Райнхарта, Д. Пирсона и других авторов по торможению цилиндрических оболочек, наполненных ВВ. Как свидетельствуют данные эксперименты, в оболочках, сохранивших целостность после взрыва, наблюдаются зоны внутренних разрывов. При увеличении энергии заряда ВВ, микротрещины в этих зонах сливаются в макротрещины и происходит разрушение оболочки на осколки.

Ключевые статьи на тему вероятностного подхода к моделированию динамического разрушения

Скачать pdf: Pashkov, S.V., Zelepugin, S.A., Probabilistic approach in modelling dynamic fracture problems, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. https://doi.org/10.1177/0954406220939116

Скачать pdf (РУС): С.В. Пашков Вероятностный подход при моделировании пробития тонких преград // Труды ТГУ. Серия физико-математическая. (Под ред. Орлова М.Ю.) Изд-во ТГУ. 2019. (303) С. 38-47.
Скачать pdf (ENG): Sergey Pashkov. A probabilistic approach to modeling collisions with thin barriers // EPJ Web of Conferences Vol. 221, 01039 (2019).

Скачать pdf (РУС): Пашков С.В. Вероятностный подход к моделированию динамического разрушения // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики (ФППСМ-2018): Сборник трудов X всероссийской научной конференции, 03-05 сентября 2018 года, г. Томск. – Томск: Томский государственный университет. 2018. С. 122-124.
Скачать pdf (ENG): Sergey A. Zelepugin, Sergey V. Pashkov PROBABILISTIC APPROACH IN MODELING DYNAMIC FRACTURE PROBLEMS // Recent Topics on Mechanics and Materials in Design. Proceedings of the 8th International Conference on Mechanics and Materials in Design (M2D 2019), Bologna, Italy, 4-6 September 2019 / Editors D. Croccolo, J.F. Silva Gomes and S.A. Meguid. 2019. P. 121-122.

Скачать pdf (РУС): Пашков С.В. Влияние распределения дефектов структуры на осколочный спектр при моделировании взрывного разрушения толстостенных цилиндрических оболочек // Труды ТГУ. Серия физико-математическая. Изд-во ТГУ. 2018. Т. 302. С. 204-211.
Скачать pdf (ENG): S. V. Pashkov, S. A. Zelepugin, and D. Yanov. Effect of Structure Defects Distribution on the Fragmentation Spectrum in the Simulation of Explosive Destruction of Thick-walled Cylindrical Shells // AIP Conference Proceedings. 2019. (2167) 020270.

Скачать pdf: Герасимов А.В., Пашков С.В. Моделирование естественного дробления твердых тел при ударных и взрывных нагружениях // Химическая физика, 2005, том 24, №11, с.1-7

Скачать pdf: Герасимов А.В., Пашков С.В. Фрагментация толстостенных упругопластических оболочек при взрывном нагружении // Химическая физика, 2002, том 21, №9, с.34-36