Назад, на численное моделирование

Описание разрушения.

В численном моделировании, при выполнении в ячейке или узле условия разрушения считается, что в данной точке образовалась микротрещина и возникает необходимость учесть факт локального разрушения в разностной схеме. В зависимости от требований, предъявляемых к задаче, при этом можно использовать различные подходы к моделированию (описанию и расчету) разрушенной зоны. В свою очередь, выбранный подход предъявляет определенные требования к критерию разрушения.

В некоторых расчетах (как правило, в задачах взрывного дробления хрупких материалов – бетон, горные породы), при которых взаимное перемещение разрушенных частей незначительно, а взаимодействие осколков не представляет интереса, микротрещины можно считать независимыми. Это позволяет не вводить поверхность разрушения, а при выполнении критерия разрушения просто считать, что материал в этой точке более не сопротивляется сдвиговым и растягивающим объемным усилиям, но продолжает работать на сжатие. Такой подход позволяет приблизительно оценить расположение и размеры зон разрушения (интенсивного дробления, состоящих из относительно крупных осколков, зоны с отдельными трещинами). Среди классических моделей, использующих данный подход, как наиболее характерные можно назвать метод «Тензор» Майнчена-Сака и модель NAG - FRAG Д.Куррана.

Если в расчете представляет интерес поле скоростей осколков, их разлет, взаимодействие их друг с другом (например, скольжение при сдвиговых трещинах) и с другими телами, то есть нельзя пренебречь взаимным перемещением разрушенных частей, то необходимо вводить поверхность разрушения. Сделать это можно также несколькими способами. В качестве самого простого способа широко используется эрозионный подход – при выполнении в ячейке критерия разрушения она выкидывается из расчета, соответственно, появляются новые контактные поверхности, по которым идет взаимодействие. В такой постановке точность расчета может быть очень низкой, потеря массы может превышать 50%, поэтому развиваются методы, позволяющие как-то снизить эту погрешность, в частности, разрушенные ячейки могут не просто выкидываться, а заменяться некими частицами, имеющими массу и скорость и обменивающимися импульсом с контактными поверхностями.

Я тоже использую эрозионный механизм разрушения, но несколько в других целях – слишком деформированные ячейки значительно уменьшают шаг по времени и ухудшают расчет контакта за счет неопределенности нормали. Такие ячейки заменяются на 12 недеформируемых тетраэдров меньшего размера, но регулярной формы. Эти тетраэдры имеют фиксированный размер, массу, передают импульс, но напряжения в них полагаются равным нулю. Это позволило избавиться от нерегулярных "разрушенных" ячеек, обойдясь при этом без "потери массы".

Эрозионное образование поверхности разрушения позволяет смоделировать трещину лишь приблизительно, но вполне приемлемо в задачах с разрушением на единичные крупные части или в расчетах, когда мелкими осколками можно пренебречь. Кроме того, не требуется определять ориентацию возникающей микротрещины, поверхность разрушения определяется гранями разрушенной ячейки. Но при более тщательном подходе, например, для того, чтобы уловить влияние разгрузки от близкорасположенных трещин, обеспечить скольжение при сколе и в сдвиговых трещинах, требуется более точное определение поверхности разрушения. Это возможно только при адаптации расчетной сетки к вычисляемой поверхности трещины (при росте этой самой трещины).

В задачах, когда характер разрушения заранее неизвестен, для реализации механизма раздвоения сеток существует два подхода (для двумерных задач, использующих треугольную сетку, они более подробно описанные ниже). Первый состоит в том, что узел сетки раздваивается при выполнении в его окрестности некоторого критерия разрушения и трещина распространяется по узлам разностной сетки. Второй подход заключается в том, что при выполнении в ячейке выбранного критерия разрушения происходит локальная перестройка разностной сетки. В этом случае параметры, характеризующие состояние среды, пересчитываются для новой ячейки как сумма по входящим в нее старым ячейкам, пропорционально их массовой доле.

Существуют и другие подходы к описанию разрушения, с которыми я плотно не пересекался, т.к. они менее подходят для задач фрагментации, на которых я преимущественно специализируюсь. Но, тем не менее, все они, несмотря на некоторые недостатки, имеют право на существование и развитие, а для некоторых задач их достоинства неоспоримы. Если кто-то в этих вопросах хорошо разбирается и у него есть желание что-то написать, буду рад увидеть его статью на этом сайте, я лишь попробую перечислить их:

- Бессеточные (MeshFree) методы (методы молекулярной динамики, различные варианты метода сглаженных частиц Smooth Particle Hydrodynamics - SPH, ISPH, MPS, методы естественных соседей - NEM, GNEM, MFEM, метод крупных частиц в ячейке и т.д.) - их преимущество в том, что не требуют критерия разрушения, определения ориентации микротрещины и введения поверхности разрушения.

- Методы, основанные на Эйлеровом подходе к описанию сплошной среды (в том числе совместные Эйлерово-Лагранжевые и метод маркеров), в которых контактные поверхности в явном виде либо отсутствуют и определяются как область резкого изменения свойств материала, либо описываются специальными элементами - маркерами.

Метод раздвоения разностной сетки по узлам.

Метод раздвоения узлов более прост, однако имеет ряд серьезных ограничений. В качестве критерия дальнейшего распространения трещины используются несколько подходов, наиболее распространенным из которых является следующий: в узле определяется (например, как среднее по окружающим ячейкам) некоторый параметр, взятый в качестве поврежденности, и сравнивается с критическим значением данного параметра. Осреднение по ячейкам значительно ослабляет влияние начальных неоднородностей и увеличивает время, необходимое для срабатывания критерия разрушения. Если среда обладает большой пластичностью, то перед разрывом в предельно растянутом материале ячейки вытянуты перпендикулярно направлению роста трещины и при ветвлении по узлам невозможно обеспечить более-менее гладкую поверхность трещины и соответствие ориентации плоскости трещины максимальным напряжениям. Это приводит к тому, что становится невозможной полная и своевременная разгрузка на вновь образовавшихся поверхностях, что очень важно при высоких скоростях деформации. Если релаксация не происходит, то концентрации напряжений в вершине трещины практически не наблюдается, и трещина распространяется не прямолинейно, что приводит к значительному ветвлению и более сильному дроблению. Расчет сдвиговых трещин при не прямолинейности трещины также затруднителен из-за невозможности скольжения берегов трещины друг по другу.

Среди достоинств данного метода, кроме простоты, следует отметить слабую критичность к выбору критерия разрушения, хотя при использовании скалярного условия вероятность повторного срабатывания критерия разрушения на берегах образовавшейся трещины гораздо выше, что также приводит к значительному ветвлению трещины и избыточному дроблению. В связи с этим, при использовании метода раздвоения узлов со скалярным критерием, в задачах высокоскоростного разрушения, магистральная трещина представляется в виде полосы разрушения толщиной в одну-две ячейки. При расчете процессов дробления это приводит к тому, что характер трещин и форма осколков не соответствует действительности и осколочный спектр сдвинут в область более мелких осколков. Несмотря на то, что использование метода раздвоения по узлам увеличивает число осколков мелкой фракции, описанный подход вполне может быть применен для предсказания числа крупных фрагментов, а также для определения поля скоростей осколков. Аналогично, в задачах разрушения массивных упруго-пластических тел, когда размеры области разрушения малы по сравнению с размерами осколков, а положение трещин в значительной степени определяется геометрией нагружения, это не играет особой роли и использование метода раздвоения узлов не вызывает возражения.

В процессе расчета в окрестности каждого узла проверяется критерий разрушения (как среднее значение выбранного параметра поврежденности по окружающим ячейкам). При срабатывании критерия разрушения определяется плоскость микротрещины, как площадка с максимальным нормальным напряжением. В окрестности узла находятся ячейки Y1 и Y2 (рисунок 2.20), через которые проходит плоскость трещины и в них определяются грани U0U1 , и U0U2 , составляющие наименьший угол с плоскостью трещины. Создается новый узел , координаты и скорость которого совпадают с параметрами узла U0 и производится расщепление сетки по линии U1U0U2 (рисунок 2.21).

Метод локальной перестройки разностной сетки.

При использовании метода локальной перестройки сетки, поверхности разрушения определяются более корректно, однако при частом перестроении сетки может накапливаться вычислительная погрешность. Этот метод довольно критичен к выбору критерия разрушения, так как использование скалярного критерия в принципе некорректно. Более того, критерий обязательно должен включать в себя некоторое условие по напряжениям для исключения повторного срабатывания в уже обработанной области, на берегах трещины. Еще один недостаток данного подхода состоит в том, что при перестройке сетки, значительно деформированной к моменту разрушения, из-за сильной неравномерности отрезков на границе перестраиваемой области, требуется значительное усложнение алгоритма перестроения сетки.

Если в процессе расчета в произвольной ячейке i1 (рисунок 2.22) выполнился выбранный критерий разрушения, то считается, что образовалась микротрещина с плоскостью, совпадающей с плоскостью максимальных нормальных напряжений. Положение макротрещины относительно разрушенной ячейки выбирается исходя из условия максимальной регулярности сетки с трещиной.

Определяется угол j3, принадлежащий ячейке i1, внутри которого лежит плоскость микротрещины и поверхность разрушения привязывается к середине противоположной стороны (к точке А, рисунок 2.22). Из т. А проводится луч, совпадающий с плоскостью микротрещины и определяется точка его пересечения со стороной j1-j3 (точка В). Узлы j1 и j2 последовательно переносятся в т. А, узел j3 сносится в т. В и добавляется соответствующий ему узел J3. На рисунке 2.23 показан результат локальной перестройки разностной сетки при инициировании трещины в ячейке i1.

Локальная перестройка разностной сетки с использованием автоматической триангуляции.

Описанный выше алгоритм локальной перестройки вполне неплохо работает на равномерной сетке, однако, если в процессе расчета произошло значительное деформирование расчетных ячеек, «перетягивание» отдельных узлов по данному алгоритму может привести к «перехлесту» и образованию ячеек с отрицательной площадью. Этот недостаток можно исправить, только используя алгоритм автоматической триангуляции, основывающейся на принципах построения равномерной сетки.

Если в процессе расчета в ячейке i1 (рисунок 2.22) образовалась микротрещина, то область, подлежащая автоматической триангуляции, определяется как часть сетки, включающая в себя все ячейки, имеющие в своем составе принадлежащие разрушенной ячейке узлы j1, j2, j3. Кроме этого, на триангулируемую область накладывается ограничение в виде линии внутреннего разрыва А_С1_В_С2 (рисунок 2.27), описывающей трещину. Плоскость разрыва совпадает с плоскостью микротрещины, а точки С1 и С2 соответствуют центру разрушенной ячейки (на рисунке точки С1 и С2 разведены для большей наглядности).

Лучи CA и CB , исходящие из центра ячейки, имеют длину, соответствующую средней длине отрезка на границе области перестроения. В связи с этим, на значительно деформированной сетке они могут выйти далеко за пределы разрушенной ячейки – в этом случае область перестроения соответственно увеличивается – для каждого отрезка, который пересекает луч, к области перестроения добавляется окружение обоих узлов, принадлежащих отрезку. При выходе луча на границу, линия A_C1_B_C2 объединяется с границей – разрыв уже не внутренний, а поверхностный.

Назад, на численное моделирование