Назад, на численное моделирование

Устойчивость по времени при численном моделировании задач механики.

Для выполнения условия устойчивости по времени, в трехмерных расчетах на тетраэдрической сетке, шаг по времени берется как минимум выражения:
(1.1)
где m – индекс по всем ячейкам расчетной области
k – индекс по высотам m-ой ячейки, k =1, 2, 3, 4
- местная скорость звука в ячейке
- скорость
- k-ая высота m-ой ячейки
- нормаль к k-ой плоскости m-ой ячейки

Член связан со временем, за которое возмущение проходит расстояние, равное k-ой высоте m-ой ячейки – шаг по времени не может быть больше, чем время, за которое сигнал проходит сквозь ячейку. (1.2)

Член определяет изменение вектора скорости в направлении , и ограничивает шаг по времени при наличии сильного градиента скоростей в этом направлении; . Градиент скоростей ограничивает шаг по времени, препятствуя схлопыванию ячейки и резкому изменению ее формы и размеров. (1.3)

Для двумерных расчетов множитель принято брать равным 1/3, но для расчетов в трехмерной постановке, на мой взгляд, этого недостаточно, я использую 1/4.

В некоторых методах вместо (1.3) используется скорость изменения относительного объема. Однако этот подход не учитывает сдвигового градиента скорости, а добавлять изменение относительного объема третьим членом в (1.1) считаю излишним, так как (1.3) учитывает это изменение, хоть и менее строго.

Очень часто применяют ограничение и на изменение шага по времени:
если

Устойчивость по времени для систем уравнений параболического типа.

Уравнение параболического типа (например, уравнение теплопроводности), записывается в виде
(2.1)
где f ( x , t ) -произвольная функция, характеризующее внешнее воздействие (например, источники тепла).

Рассмотрим одномерный случай .

Сформулируем условие устойчивости по времени как «уравнение без свободного члена за один шаг по времени не может менять знак » , то есть знак (выпуклость кривой в точке х0, см. рисунок 1) (2.2)

Рисунок 1. Предельно допустимое изменение температуры за один шаг по времени.

Пусть начальное распределение температуры имеет квадратичную зависимость:
(2.3)

Предельно допустимое значение температуры на следующем шаге по времени, с точки зрения условия (2.2), будет равно (рисунок 1):

Учитывая, что , запишем условие (2.2) в виде или
. Сокращая оператор Лапласа, получим
(2.4)
Я несколько далек от уравнений параболического типа (теплопроводности, диффузии и т.п.), поэтому все вышеизложенное не стоит воспринимать как теорию. Насколько я в курсе, ограничение в явных схемах на шаг по времени считается малоприемлемым и, в основном, для решения систем параболического типа, применяются неявные схемы

Учет вязкости в условии устойчивости по времени.

При использовании в определяющих соотношениях вязкости (типа Навье-Стокса)
– упругая составляющая (3.1)
например, (3.2)
условие (1.1), рассчитанное на уравнение гиперболического типа, в определенных ситуациях оказывается недостаточным для устойчивости по времени.
В (3.2) G – модуль сдвига, η – коэффициент вязкости, – девиатор тензора упругих деформаций и девиатор скорости пластических деформаций.

Рассмотрим уравнение движения с учетом (3.1)
(3.3)

Вязкость, как правило, ассоциируют с пластическими деформациями (3.2); в то же время изменения объема за счет пластических деформаций практически не происходит, поэтому можно считать, что div(V) для пластических деформаций равен нулю:
(3.4)

Наличие члена требует выполнения условия устойчивости (2.2) для систем уравнений параболического типа. Проводя аналогию (3.4) с (2.1), получаем
(3.5)

Комбинировать (3.5) с (1.1) можно по-разному, я использую следующую схему:
(3.6)

Назад, на численное моделирование