Назад, на численное моделирование
Прозрачные границы. Повышение точности расчета граничных условий при численном моделировании конечного участка бесконечного пространства.
При моделировании взаимодействия ударника, осколков или продуктов детонации ВВ с достаточно протяженными объектами, очень часто встает вопрос - как ограничить расчетную область, чтобы снизить время расчета, но при этом сохранить приемлемую точность. Если размеры области определять из принципа «волна, отраженная от границ расчетной области, не должна достигнуть интересующего нас участка ранее завершения основного этапа (пробитие, откол и т.д.) исследуемого процесса взаимодействия тел», то либо размеры этой области приходится брать достаточно большими, увеличивая время счета, либо ограничивать временной интервал расчета, что не позволяет провести исследование с достаточной полнотой. В ряде случаев, например, при взаимодействии объектов с достаточно маленькими скоростями, этот подход накладывает еще большие ограничения, либо вообще не применим.
При квазистатическом нагружении, подобный принцип тем более использовать нельзя, так как, по определению, интересующий нас интервал много больше времени прохода волны по области расчета. Использование граничных условий в виде жесткого закрепления в квазистатических задачах выходом не является – за счет накопления возмущений, отражаемых от жесткой границы, погрешность может быть значительной.
Для того, что бы увеличить временной интервал, в течение которого состояние интересующего нас участка (например, ABCDE на рис.1) можно считать достоверным, необходимо увеличить область расчета до прямоугольника A*B*C*D*E* (рис.1). Если же рассматривать только участок ABCDE, то граница расчетной области на участках AB-BD-DE, после того, как возмущение дойдет до нее, будет отражать волны внутрь, независимо от использующихся граничных условий на ней - условия свободной границы или условия жесткого закрепления. В то же время, непосредственно область «расширения» не интересует нас с точки зрения моделирования и анализа. Поэтому, можно попытаться решить эту задачу с гораздо меньшими затратами, ограничив область расчета интересующим нас участком ABCDE, но с постановкой на нем соответствующих не отражающих (non-reflected) граничных условий в виде «прозрачной границы», которая не отражает возмущение, а позволяет ему пройти беспрепятственно.
Рисунок 1. Определение области расчета.
Начиная с 1970х годов, разработкой не отражающих граничных условий занимались многие исследователи [1], используя для этого различные подходы и принципы. Тем не менее, предлагаемые варианты, как правило, громоздки и трудоемки и ориентированы на частный случай расположения источника возмущений по отношению к границе. Особую трудность вызывает создание не отражающих граничных условий для упругой среды [2,3,4,5], так как наличие сдвиговой компоненты и, соответственно, различная скорость распространения продольных и поперечных волн, в общем случае не позволяет определить направление распространения импульса возмущений, подошедшего к границе расчетной области.
Будем исходить из того, что любые возмущения, приходящие к границам расчетной области, можно представить в виде суперпозиции продольных и поперечных волн, распространяющихся со скоростями ск в направлении 
:
- профиль отдельной волны, r – радиус-вектор.
Поскольку нас интересует поведение волны на участке размером порядка шага по координате, затуханием можно пренебречь и, в случае однородного анизотропного пространства, для каждой волны (возмущения) справедливо 
, поэтому, уравнение движения для обычного случая запишется в виде
В общем случае, мы не можем разделить напряжения в точке на составляющие, соответствующие каждой волне, даже выделить отдельные волны практически нереально. Однако в случае, если можно разделить возмущения по скорости распространения, и все волны, приходящие на границу расчетной области, падают под одним и тем же углом (можно вынести за знак суммирования), можно считать, что изменения скорости в точке однозначно определяются изменением напряжений.
Допустим, что граница расчетной области расположена таким образом, что все совпадают с ее нормалью 
(все волны возмущений падают на границу нормально. Разделим эти нормально падающие волны на продольные и поперечные (приняв, что в поперечной волне ненулевыми являются лишь сдвиговые напряжения).
Соответственно, для продольной волны будем иметь составляющую вектора f , параллельную , а для поперечной – перпендикулярную . Таким образом,
Результаты расчетов:
Рассмотрим влияние различных вариантов задания граничных условий для задачи высокоскоростного взаимодействия цилиндрического ударника с полупространством (рис.2). Скорость ударника бралась равной 300 м/с. Исходя из требования нормального падения волн на прозрачную границу, выберем область расчета в виде полусферы.
Рисунок 2. Схема расчета
Смоделируем задачу в следующих вариантах:
1) Расчетная область A*B*C*E*, жесткое закрепление на контуре A*-C*-E*;
2) Расчетная область ABCE, «прозрачные границы» на контуре A-C-E;
Возьмем в качестве контрольных точки A, B и C и сравним (рис.3) значения некоторых определяющих показателей - компоненты вектора скорости среды в этих точках: Vz(А), Vz(В), Vz(С), Vу(А), Vу(В).
Сравнение результатов расчетов, для граничных условий с жестким закреплением на контуре A*-C*-E* и с условием свободной поверхности на этом контуре, показывает расхождение этих параметров, начиная с 14 мкс, когда сигнал, отраженный от границы A*-B*-C*-E*, достигает, а точнее, возвращается в точки A, B и C. До этого момента будем считать точным решением для рассматриваемых параметров, их значение в расчете с жестким закреплением A*-C*-E*. На графиках рисунка 3, видно, что до этого момента значения параметров показывают хорошее согласование.
 а) |
 б) |
 в) |
 г) |
д)
Рисунок. 3. Сравнение скорости в контрольных точках: а) -Vz в точке A; б) Vz в точке B;
в) Vz в точке C; г) Vy в точке A; д) Vy в точке B.
Наибольшего значения погрешность достигает для точки A, в связи с тем, что свободная поверхность является (за счет разгрузки) источником возмущений, распространяющихся, в том числе, и внутрь расчетной области. Прозрачные границы, естественно, ничего не знают о возмущениях, которые могут приходить извне (в данном случае - с участков А-А* и Е-Е*), поэтому погрешность постепенно накапливается. Однако, качественное совпадение говорит о том, что возмущения действительно проходят сквозь «прозрачную границу» и наблюдаемой погрешностью в большинстве задач можно пренебречь.
При увеличении разрешения (рисунок 4) видно, что возмущения слегка опережают реальный сигнал. Это связано с тем, что изменения напряжений определяются в ячейках, а изменения скоростей – в узлах. Смещение зависит от времени, за которое возмущение проходит расстояние от центра ячейки до ее границ, поэтому уменьшается по мере измельчения сетки.
Рисунок. 4. Фрагмент графика 3,в (Vz в точке C) в увеличенном разрешении.
Для двух- и трехмерных расчетов, понятие «центр ячейки» приобретает несколько иной смысл – изменение напряжений осредняется по нескольким ячейкам, окружающих узел. Пробовалось несколько вариантов схемы в попытке избавиться от смещения (линейная аппроксимация, отставание δV от δσ на несколько шагов по времени и т.д.), но полностью устранить его так и не удалось. За исключением варианта, когда скорость звука бралась слегка больше, чем 
, однако в разных задачах этот коэффициент получался разным… Были выявлены следующие закономерности:
- измельчение сетки уменьшает смещение;
- уменьшение шага по времени не влияет на смещение;
- утончение «приграничного» слоя ячеек не дает ожидаемого эффекта (возможно за счет того, что отклонение от равномерности приводит к большим погрешностям);
- увеличение скорости распространения продольных волн приводит к уменьшению смещения, но снижает амплитуду (то есть «размазывает» возмущение).
Также влияние различных вариантов задания граничных условий рассматривалось для задачи взаимодействия ударника с тонкой пластиной (все остальные параметры задачи аналогичные). Исходя из требования нормального падения волн на прозрачную границу, выберем область расчета для пластины в виде круга. Контрольная точка бралась на границе пластины, по аналогии с т.А из предыдущей задачи. Контрольную точку на тыльной стороне пластины (по аналогии с т.С) брать смысла нет, так как в ней влияние граничных условий для данной задачи практически не заметно.
На рисунке 5 красным цветом обозначено значение скорости для варианта с использованием прозрачных границ (на краях области «анализа»), черным и зеленым – с использованием жесткого закрепления и свободной границы (на краях области «расширения»), при этом видно (рисунок 5,б), что с 15 мкс начинается расхождение решения для разных вариантов граничных условий на большом контуре. На представленных графиках видно, что импульс, хоть и с некоторой погрешностью, но проходит через прозрачную границу. Учитывая, что отраженная «волна погрешности» будет затухать с расстоянием, можно считать, что на область анализа она практически не влияет.
|
|
|
Рисунок. 5. Взаимодействие ударника с пластиной. Сравнение скорости в контрольной точке: а) - Vz ; б) Vy ; в) - Vz (в более подробном масштабе).
Для полубесконечных стержней, использование граничных условий в виде прозрачных границ также позволяет значительно повысить точность расчета, однако,
и в этом случае, свободная боковая поверхность стержня является (за счет разгрузки) источником возмущений, распространяющихся, в том числе, и внутрь расчетной области.
Прозрачные границы, естественно, ничего не знают о возмущениях, которые могут приходить извне, поэтому погрешность постепенно накапливается. Чем толще стержень, тем
меньше влияние свободной боковой поверхности и меньше погрешность. Если же говорить о конкретной задаче, то для тонких стержней будет более корректно использовать
одномерный подход, приняв за скорость распространения продольных волн 
(за счет разгрузки с боковой поверхности,
в стержнях скорость звука значительно меньше скорости распространения объемных возмущений ).
Применение описанного варианта не отражающих граничных условий позволяет:
• Cнизить размеры расчетной области при сохранении точности (доверительного временного интервала).
• Повысить точность (доверительный временной интервал) при сохранении размеров расчетной области.
• Измельчение расчетной сетки позволяет добиться нужной точности.
Простота описанного метода и его локальность (отсутствие необходимости при расчете граничных условий учитывать параметры в остальных точках границы) делают его предпочтительным при расчете широкого класса задач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
• 1. Dan Givoli. High-order local non-reflecting boundary conditions: a review // Wave Motion. 2004. V.39, P.319-326
• 2. И.Л. Софронов. Условия полной прозрачности на сфере для трехмерного волнового уравнения. // Доклады РАН. 1992. Т. 326, № 6, с. 453 - 457
• 3. D. Givoli, D. Cohen. Non-reflecting boundary conditions based on Kirchhoff-type formulae // J. Comput. Phys. 1995. V.117, P.102-113.
• 4. A. Mugan, G.M. Hulbert. Nonreflecting boundary conditions in elastodynamics for finite element methods based upon off-surface boundary integral equations // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. V.190, P.1289-1307
• 5. M.J. Grote. Nonreflecting boundary conditions for elastodynamic scattering // J. Comput. Phys. 2000. V.161 P.331-353.
На страницу, посвященную численному моделированию
